\(\newcommand{\diff}{{\rm d}}\) \(\newcommand{\pdiff}{{\partial}}\) \(\newcommand{\ohm}{\Omega}\) \(\newcommand{\Ohm}{\Omega}\)

Lösungen zum 13. Übungsbogen

Q13-0: Gasartabhängigkeit

Welche der folgenden Druckmessgeräte sind gasart-unabhängig?

    Die folgenden Aussagen treffen zu:    





Lösung:
(A) und (B) treffen zu. (C) und (D) sind indirekte Druckmessstellen; beim Pirani spielt die Wärmeleitfähigkeit des Gases eine Rolle, bei der Bayard-Alpert-Druckmessstelle die Ionisierungsfähigkeit. Beides sind gasart-spezifische Eigenschaften.

Q13-1 Pirani-Druckmessstelle

Welche der folgenden Aussagen zur Pirani-Druckmessstelle treffen zu (Mehrfachauswahl)?

    Die folgenden Aussagen treffen zu:    





Lösung:
Nur (D) ist richtig. (A) ist falsch, weil die Wärmeleitfähigkeit druckabhängig ist. (B) ist falsch, weil der Messbereich \(10^{-4}\;{\rm mbar} - 1\;{\rm bar}\) beträgt. (C) ist falsch, weil Pirani-Messstellen auf Luft oder Stickstoff kalibriert sind.

Q13-2 Steighöhe

Schwefelsäure hat eine Dichte von \(\rho=1,83\;{\rm g/cm^3}\). Wie hoch steigt Schwefelsäure in ein evakuiertes Rohr? Der äußere Druck betrage 1000 mbar.

   Die Steighöhe in cm beträgt:   





Lösung:(B) ist richtig. \[ p_{\rm ext} = g \cdot \rho \cdot h\] \[ \frac{p_{\rm ext}}{g \cdot \rho} = h\] \[p_{\rm ext} = 1000\;{\rm mbar} = 100.000\;{\rm Pa}\] \[\rho = 1,83\;{\rm g/cm^3} = 1830\;{\rm kg/m^3}\] \[g = 9,81\;{\rm m/s^2}\] \[ h = \frac{100.000\;{\rm Pa}}{1830\;{\rm kg/m^3} \cdot 9,81\;{\rm m/s^2}}\] \[h = 5,57\;{\rm m}\] Die Steighöhe h beträgt 5,57 m = 557 cm.

Q13-3 - Inkohärente Druckeinheiten

Eine etwas seltsame Druckeinheit ist in der Technik gebräuchlich: es handelt sich um den Schweredruck, den eine Masse von 453,59 g auf eine Fläche von 1 Quadratinch (1 inch = 2,54 cm) bei Normal-Schwerebeschleunigung (\(g=9,81\;{\rm m/s^2}\) ausübt. Beurteilen Sie die folgenden Aussagen.

    Die folgenden Aussagen treffen zu:    





Lösung:
(A), (C) und (D) treffen zu.
Der Druck \(p\) beträgt \[p = \frac{0,45359\;{\rm kg}\cdot 9,81 {\rm m/s^2}}{{\left(2,54\cdot 10^{-2}\right)}^2\;{\rm m^2}} = 6897\; \frac{\rm kg}{\rm m \cdot s^2} = 6897\;{\rm Pa}. \] \[100\;{\rm Pa} = 1\;{\rm mbar},\] daher 68,9 mbar.
760 mm Hg entsprechen 101325 Pa, daher 51,7 mm Hg.
1 Pa entspricht 0,10197 mm Wassersäule, daher 703 mm.
Bei der ominösen Druckeinheit handelt es sich um das psi (pounds per square inch), und das »pound« ist das Avoirdupois pound, siehe hier:
https://en.wikipedia.org/wiki/Avoirdupois_system

Q14-4 - Ionisations-Druckmessstellen

Welche der folgenden Aussagen zu Ionisations-Druckmessstellen treffen zu (Mehrfachauswahl)?

    Die folgenden Aussagen treffen zu:    





Lösung:
(A) und (B) treffen zu. (C) ist falsch, weil der abgelesene Druck mit dem Faktor multipliziert werden muss und nicht dividiert; (D) ist falsch, weil es nicht die Wärmeleitfähigkeit, sondern das Ionisationsvermögen des Gases ist, welches die Druckart-Abhängigkeit der Messstelle bewirkt.

Q13-5 — Schweredruck

Wie groß ist der Druck \(p\) am Boden eines Gefäßes in der Einheit kPa, das 0,8 m hoch mit Öl (\(ρ = 0, 8 · 10^3\;{\rm kg/m^3}\)) gefüllt ist, bei einem Luftdruck von 987 hPa?

   Die markierte Antwort trifft zu:   





Lösung:
(B) trifft zu. Der Druck am Boden des Gefäßes ist gleich dem Luftdruck über der Flüssigkeit und dem Schweredruck der Flüssigkeit. \[p = p_0 + \rho \cdot g \cdot h = \left(98700+6300\right)\;{\rm Pa} = 105\;{\rm kPa}.\] Der Druck beträgt 105 kPa.

Q13-6 - Wasserstrahl

Auf welche Höhe \(h\) steigt ein unter \(5 \cdot 10^5\) Pa Überdruck stehender senkrecht nach oben ausströmender Wasserstrahl?

   Die markierte Antwort trifft zu:   





Lösung:
(C) trifft zu. \[h = \frac{p}{\rho \cdot g} = \frac{5 \cdot 10^5}{10^3 \cdot 9,81} \frac{\rm N \cdot m^3 \cdot s^2}{\rm m^2 \cdot kg \cdot m} = 51\;{\rm m}.\]

Q13-7 — Gasdichte

Eine gewisse Menge Argon (Atommasse 39,948 u) steht bei Raumtemperatur (\(T=295\;{\rm K}\) unter einem Druck unter einem Druck von 632 Torr. Wie groß ist seine Dichte \(\rho\) in der Einheit Gramm/cm\(^3\)?

   Die Dichte \(\rho\) in Gramm/cm\(^3\) beträgt:   





Lösung:(B) ist richtig.
Gemäß der Vorlesung ist \begin{equation*} p = \frac{\rho}{M} \cdot R \cdot T \end{equation*} bzw. \begin{equation*} \rho = \frac {p \cdot M}{R \cdot T}. \end{equation*} Der Druck und die atomare Masse müssen zunächst in die SI-Einheiten umgerechnet werden.
Es ist \(p=632\;{\rm Torr}\). Gemäß Tabelle 13-1 ist 1 Torr = 133.32  Pa. Der Druck beträgt daher \[ p = 632\;{\rm Torr} \cdot 133.23 \; \frac{\rm Pa}{\rm Torr} = 8.4201 \cdot 10^{4}\;{\rm Pa}. \]
Es ist 1 u = 1 Gramm/mol.
Wenn die Atommasse 39,948 u beträgt, dann ist die Molmasse gleich 39,948 Gramm/mol bzw. \(39,948 \cdot 10^{–3}\;\frac{\rm kg}{\rm mol}\).
Damit erhalten wir \begin{equation*} \rho = \frac {p \cdot M}{R \cdot T} = \frac{8.4201 \cdot 10^{4}\;{\rm Pa} \cdot 39.948 \cdot 10^{–3}\;\frac{\rm kg}{\rm mol}}{8.314\; \frac{\rm J}{\rm mol \cdot K} \cdot 295\;{\rm K}} \end{equation*} \begin{equation*} = 1.3715 \; \frac{\rm kg}{\rm m^3} = \frac{1.3715 \cdot 10^3 \; {\rm g}}{10^6\;{\rm cm^3}} = 1.3715 \cdot 10^{-3} \; \frac{\rm g}{\rm cm^3}. \end{equation*}

Q13-8 — Systematischer Druck-Messfehler

Ein oben zugeschmolzenes, mit einer Millimeter-Skalierung versehenes Glasrohr ragt senkrecht in eine mit Quecksilber (\(\rho = 13,5459\;{\rm g/cm^3}\)) gefüllte Wanne und soll als Manometer genutzt werden. Die Rohrlänge oberhalb der Wanne beträgt insgesamt \(h_0=1.000 \cdot 10^3\;{\rm mm}\) (also genau 1 m). Das Rohr ist unten mit einem Schieber verschlossen. Das um unteren Ende zunächst mit einem Schieber verschlossene Rohr ist jedoch nur unvollkommen evakuiert, und in seinem Inneren befindet sich ein Restdruck von 100,0 mbar. Wenn der Schieber geöffnet wird, steigt das Quecksilber an, das Restgas wird komprimiert und sein Druck wächst.
Auf welche Höhe \(h_1\) in cm steigt das Quecksilber bei einem Außendruck von 1015 mbar in das Rohr, wenn der Schieber geöffnet wird?

   Die Steighöhe in cm beträgt:   




Lösung:Antwort (C) ist richtig.
Die Gesamthöhe des Rohres sei \(h_0\), der Restgas-Druck sei \(p_0\).
Durch den Aufstieg des Hg wird die Gassäule komprimiert. Das Quecksilber steigt an, bis sein Schweredruck zusammen mit dem Gasdruck des komprimierten Gases gleich dem Außendruck \(p_{ex}\) ist; der Gasdruck im Rohr sei dann gleich \(p_1\) und die Steighöhe des Quecksilbers sei gleich \(p_1\): \[ \rho g h_1 + p_1 = p_{ex}. \] Für das Restgas gilt das Boyle-Mariottesche Gesetz: \[ p_0 V_0 = p_1 V_1. \] Es ist \(V_0 = \pi r^2 h_0\) und \(V_1 = \pi r^2 \cdot \left(h_0 - h_1\right)\), daher: \[ p_0 \cdot \pi r^2 h_0 = p_1 \cdot \pi r^2 \cdot \left(h_0 - h_1\right). \] Teilen beider Seiten durch \(\pi r^2\): \[ p_0 \cdot h_0 = p_1 \cdot \left(h_0 - h_1\right). \] Also ist \[ p_1 = p_0 \cdot \frac{h_0}{h_0 - h_1}. \] Hierin sind \(p_1\) und \(h_1\) noch nicht bekannt.
Für das Quecksilber gilt: \[ p_{\ce{Hg}} = \rho_{\ce{Hg}} \cdot g \cdot h_1. \] Für die Summer beider Drücke gilt: \[ p_{\ce{Hg}} + p_1 = p_{ex}. \] \[ \rho_{\ce{Hg}} \cdot g \cdot h_1 + p_0 \cdot \frac{h_0}{h_0 - h_1} = p_{ex}. \] Hierin ist nur noch \(h_1\) unbekannt.
Wir haben also nach Einsetzen der Zahlenwerte zu berechnen (mit dem Zahlenwert \(p_0 \cdot h_0 = 10^{4}\)): \[ {\rm solve}\left( (13545.9 * 9.81 * h_1) - ((1e4)/(h_1-h_0)) - 101500 =0, h_1\right) \] Das ergibt durch numerische Berechnung: \[ h_1 = \left[0.58325,\;1.1806 \right] \] Die Steighöhe \(h_1\) des Quecksilbers ist also entweder gleich 58.3 cm oder 118 cm; die zweite Lsg. hat bei einem 100  hohen Rohr keinen Sinn; also ist \[ h_1 = 58.3\;{\rm cm}. \]

Q13–9 — Druck-Messfehler

Wie Q13–8: ein oben zugeschmolzenes, mit einer Millimeter-Skalierung versehenes Glasrohr ragt senkrecht in eine mit Quecksilber (\(\rho = 13,5459\;{\rm g/cm^3}\)) gefüllte Wanne und soll als Manometer genutzt werden. Die Rohrlänge oberhalb der Wanne beträgt insgesamt \(h_0=1.000 \cdot 10^3\;{\rm mm}\) (also genau 1 m). Das Rohr ist unten mit einem Schieber verschlossen. Das um unteren Ende zunächst mit einem Schieber verschlossene Rohr ist jedoch nur unvollkommen evakuiert, und in seinem Inneren befindet sich ein Restdruck von 100,0 mbar. Wenn der Schieber geöffnet wird, steigt das Quecksilber an, das Restgas wird komprimiert und sein Druck wächst.
Welcher scheinbare Außendruck in mbar wird gemessen?

   scheinbare Außendruck in mbar beträgt:   



Lösung:Antwort (A) ist richtig.
Aus der Lsg. von Aufgabe Q13-8 entnehmen wir: \(h_{\ce{Hg}} = 583\;{\rm mm}\).
760 Torr = 760 cm Hg-Säule = 1013 mbar (1 atm).
Daher: \[ p = \frac{583}{760} \cdot 1013\;{\rm mbar} = 777\;{\rm mbar}. \]

Q13-10 — Druck-Messfehler

Betrachten Sie die in den Aufgaben Q13-7 und Q13-8 dargestellte Situation. Welche Aussagen treffen zu?

    Die folgenden Aussagen treffen zu:    



Lösung:Antwort (B) und (D) sind richtig. (A) ist falsch, denn es wird ein zu niedriger Außendruck angezeigt, nicht ein zu hoher. (C) ist falsch, weil es sich nicht um einen statistischen, sondern um einen systematischen Messfehler handelt.