Q9-6 — Littrow-Anordnung

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Bei Monochromatoren in der sogenannten Littrow-Anordnung entnimmt man das austretende Licht aus der Richtung, in die das Licht einfällt, d.h. \(\alpha = \beta\). Bei einem Experiment tritt Licht aus, wenn \(\alpha = 11,125^{\circ}\). Der Monochromator wird mit einem Gitter mit \(G=1201,3/{\rm mm}\) betrieben. Licht aus höheren als der ersten Ordnung wird unterdrückt. Wie hoch ist die Wellenlänge des eintretenden Lichtes?

    Antwort: \(\lambda =\)    

(A)      Jede beliebige Wellenlänge, da es sich um Licht aus der Nullten Gitterordnung handelt.

(B)      \(461,35\;{\rm nm}\)

(C)      \(160,62\;{\rm nm}\)

(D)      \(321,24 \;{\rm nm}\)

Q9-7 — Größtmögliche Wellenlänge \(\lambda_{\rm max}\)

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Welches ist die größtmögliche Wellenlänge \(\lambda_{\rm max}\), die bei senkrechtem Einfall (\(\alpha = 0,000^{\circ}\)) von einem ebenen Dispersionsgitter mit der Gitterkonstante \(G=1802\;{\rm mm^{-1}}\) in der ersten negativen Gitterordnung gerade noch austreten kann?

    Antwort: \(\lambda_{\rm max}\)    

(A)      Eine solche maximale Wellenlänge gibt es nicht.

(B)      \(277,5\;{\rm nm}\)

(C)      \(554,9\;{\rm nm}\)

(D)      \(1109 \;{\rm nm}\)

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Lösung:

(C)ist richtig. Der Eintrittswinkel beträgt \(\alpha = 0\). Der größtmögliche Austrittswinkel \(\beta\) ist gleich \(\beta = -90^{\circ}\). Das Licht läuft dann parallel zur Gitterfläche aus. Daraus können wir mit Hilfe der Gittergleichung \(\lambda_{\rm max}\) berechnen:

\begin{align*} \alpha &= 0\\ k &= -1\\ \sin \beta &= -G\lambda_{\rm max}\\ \beta &= -90^{\circ}\\ \sin \beta &= -1\\ -G\lambda_{\rm max} &= -1\\ G\lambda_{\rm max} &= 1\\ \lambda_{\rm max} &= \frac{1}{G}\\ \lambda_{\rm max} &= \frac{1}{1802 \cdot 10^3\;{\rm m^{-1}}}\\ \lambda_{\rm max} &= 5,549 \cdot 10^{-7}\;{\rm m}\\ \lambda_{\rm max} &= 554,9 \;{\rm nm}.\\ \end{align*}

Aus dieser Rechnung ergibt sich eine weitere physikalische Bedeutung der Gitterkonstanten: \(G\) ist der Kehrwert der maximalen Wellenlänge, die in erster Ordnung bei senkrechtem Einfall aus dem Gitter wieder austreten kann.

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Lösung:

Für den Fall des senkrechten Eintritts der Strahlung \(\alpha = 0\) kann die rechte Seite der Gittergleichung (Gl. 5 in VL 10) nicht größer als \(\pm 1\) sein, weil das die Maximal-Werte der Sinusfunktion sind.

\begin{align*} \alpha &= 0\\ \sin \beta &= k \cdot G \cdot \lambda \\ k \cdot G \cdot \lambda & \leq 1\\ k &\leq \frac{1}{G \cdot \lambda} \\ \frac{1}{G \cdot \lambda} &= 2,16\\ k &\leq 2,16\\ \end{align*}

Da \(k\) eine ganze Zahl sein muss, ist die größte Gitterordnung für unseren Fall: \(k_{\rm max}=2\). \(k\) kann nicht größer als 2 sein (oder kleiner als -2). Wir testen das mal und setzen probeweise \(k=3\): \begin{align*} \alpha &= 0, \; k=3\\ \sin \beta &= 3 \cdot G \cdot \lambda \\ \sin \beta = 1,3834\\ \end{align*} Es gibt keine reelle Zahl, deren Sinus gleich 1,38 wäre. (Mit komplexen Zahlen geht das schon \(\left( \arcsin 1,38 = \tfrac{\pi}{2} - 0,85\;i \right)\), aber diese Zahl ist dann kein Winkel mehr.)

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Lösung:

(C) ist richtig.

\begin{equation*} 1 \cdot G \cdot \lambda = 2 \cdot G \cdot \frac{\lambda}{2}. \end{equation*} Beispeilsweise kann bei dem Austrittswinkel für \(\lambda = 820\;{\rm nm}\) in der ersten Gitterordnung auch Licht mit \(\lambda = 410\;{\rm nm}\) aus der zweiten Gitterordnung auftreten. Der Wellenlängenbereich von 800 – 900 nm in der ersten Gitterordnung ist also nicht eindeutig, er kann auch Beiträge aus dem Bereich 400 – 450 nm aus der zweiten Gitterordnung enthalten.

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Lösung:

(A), (C) und (D) sind richtig.

(A) ergibt sich aus der Definition der Winkeldispersion, (B) ist schlichter Unfug, und dass \(D_{\beta}\) von \(\lambda\) abhängt, sieht man sofort aus Gl. (2) der 11. Vorlesung.

Lediglich (D) wurde nicht explizit in der Vorlesung gezeigt. Die Winkeldispersion \(D_{\beta}\) ist definiert als:
\begin{equation*} D_{\beta} = {\frac {{k}\,{G}}{\sqrt {1- \left( {k}\,{G}\,\lambda -\sin \alpha \right) ^{2}}}}. \end{equation*} Nimmt \(\lambda\) zu, so wird \( \left( {k}\,{G}\,\lambda -\sin \alpha \right) ^{2} \) größer, und daher wird \( 1- \left( {k}\,{G}\,\lambda -\sin \alpha \right) ^{2} \) kleiner; also wird auch \(\sqrt{ 1- \left( {k}\,{G}\,\lambda -\sin \alpha \right) ^{2} }\) kleiner; und daher wird \(D_{\beta}\) größer.

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Lösung: \begin{equation*} D_{\beta} = \frac {kG}{\cos \beta}. \end{equation*} Wir benötigen \(\beta\). \begin{equation*} \beta = \arcsin \left(kG\lambda\right) = \arcsin \left(598,3 \cdot 10^3\;{\rm m^{-1}} \cdot 589,9 \cdot 10^{-9}\;{\rm m}\right) = 20,67^{\circ}. \end{equation*} Dann ist \begin{equation*} D_{\beta } = \frac{G}{\cos \beta} = \frac{598,3 \cdot 10^3}{\rm 0,9357\;m} = \frac{6,395 \cdot 10^5 \; \rm rad}{\rm m} = \frac{6,395 \cdot 10^{-4} \; \rm rad}{\rm nm} \end{equation*}

\begin{equation*} \frac{\rm rad}{2 \pi} = \frac{\rm deg}{360^{\circ}}. \end{equation*} \begin{equation*} D_{\beta } = \frac{0,03664^{\circ}}{\rm nm}. \end{equation*}

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Lösung: (A) ist richtig \begin{align*} D_{\beta} &= \frac{G}{\sqrt{1-G^2 \lambda^2}} \\ \sqrt{1-G^2 \lambda^2} &= \frac{G}{D_{\beta}}\\ 1-G^2 \lambda^2 &= \frac{G^2}{D_{\beta}^2}\\ 1- \frac{G^2}{D_{\beta}^2} &= G^2 \lambda^2\\ \frac{D_{\beta}^2}{D_{\beta}^2}- \frac{G^2}{D_{\beta}^2} &= G^2 \lambda^2\\ \frac{D_{\beta}^2}{D_{\beta}^2 G^2}- \frac{G^2}{D_{\beta}^2 G^2} &= \lambda^2\\ \frac{1}{G^2}- \frac{1}{D_{\beta}^2 } &= \lambda^2\\ \lambda &= \sqrt{ \frac{1}{G^2}- \frac{1}{D_{\beta}^2 } } \\ G &= 600 \cdot 10^3\;{\rm m^{-1}}\\ D_{\beta} &= \frac{0,045^{\circ}}{\rm nm} = 7,8540 \cdot 10^5 {\rm m^{-1}}\\ \lambda &= 1,0754 \cdot 10^{-6}\;{\rm m} \\ \lambda &= 1075\;{\rm nm}. \\ \end{align*}

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Q9-13 — Na-D-Licht

Betrachten Sie ein Gitter mit der Gitterkonstante \(G=602.1\;{\rm mm^{-1}}\). Es werde mit Licht aus einer Natriumdampf-Lampe unter einem Eintrittswinkel \(\alpha=0\) ausgeleuchtet. Das Licht besteht hauptsächlich aus den beiden Linien des Na-D-Dubletts mit den Wellenlängen \(\lambda_1 = 589.593\;{\rm nm}\) (Na-D\(_{1}\)) und \(\lambda_2 = 589.996\;{\rm nm}\) (Na-D\(_{2}\)). Um welchen Winkel \(\Delta \beta\) unterscheiden sich die Linien in der ersten (\(\Delta \beta_{1}\)) und in der zweiten (\(\Delta \beta_{2}\)) Beugungsordnung des Gitters in der Einheit Grad?

   Antwort:    

(A)    \(\Delta \beta_{1} = 0.0148^0\), \(\Delta \beta_{2} = 0.0296^0\)
(B)    \(\Delta \beta_{1} = 0.0148^0\), \(\Delta \beta_{2} = 0.0395^0\)
(C)    \(\Delta \beta_{1} = 0.187^0\), \(\Delta \beta_{2} = 0.337^0\)
(D)    Keine der anderen Antworten ist auch nur annähernd richtig.


Lösung: (B) ist richtig.
Man muss lediglich die Gittergleichung für \(\alpha=0\) für beide Wellenlängen und beide Gitterordnungen berechnen und die Differenz bilden.
Beispiel:
\(\lambda_1 = 589.593\;{\rm nm}\), \(k=2\): \[ \sin(\beta) = 2 \cdot 589.593 \cdot 10^{-9}\;{\rm m} = 0.709988; \] \[ \beta = {\rm asin}(0.709988) = 0.789481\;{\rm rad} = 45.23392^0 \] \(\lambda_2 = 589.996\;{\rm nm}\), \(k=2\): \[ \sin(\beta) = 2 \cdot 589.996 \cdot 10^{-9}\;{\rm m} = 0.710473; \] \[ \beta = {\rm asin}(0.710473) = 0.79017\;{\rm rad} = 45.2734^0 \] \[ \Delta \beta = \left(45.2734 - 45.23392\right)^0 = 0.0395^0. \]

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Q9-14 — Winkeldispersion.

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Ein Gitter weise die Gitterkonstante \(G=602.1\;{\rm mm^{-1}}\) auf. Es werde mit Licht aus einer Natriumdampf-Lampe unter einem Eintrittswinkel \(\alpha=0\) ausgeleuchtet. Das Licht besteht hauptsächlich aus den beiden Linien des Na-D-Dubletts mit den Wellenlängen \(\lambda_1 = 589.593\;{\rm nm}\) (Na-D\(_{1}\)) und \(\lambda_2 = 589.996\;{\rm nm}\) (Na-D\(_{2}\)). Wir betrachten hier nur die Na-D\(_{1}\)-Linie.
Um welchen Faktor ƒ ist die Winkeldispersion \(D_{\beta}\) in der zweiten Ordnung des Gitters gegenüber der Winkeldispersion in der ersten Beugungsordnung erhöht?