\(\newcommand{\diff}{{\rm d}}\) \(\newcommand{\pdiff}{{\partial}}\)

Lösungen zum Zweiten Übungsbogen

Q2-0 — Eine seltsame Größe

Betrachten Sie die nachfolgend definierte Größe \(X\): \[ X = \sqrt{\frac{\hbar \cdot c^5}{G \cdot k_{B}^2}} \] Die in der Definitionsgleichung von \(X\) verwendeten Symbolde sind die international üblichen.
Nutzen Sie die Einheiten des SI-Systems, um Zahlenwert und Einheit von \(X\) zu ermitteln.

    \(X = \)    

Lösung: (B) ist richtig.
Die zur Definition von \(X\) verwendeten Naturkonstanten sind:
\(\hbar\): Plancksches Wirkungsquantum geteilt durch \(2 \pi\);
\(c\): Lichtgeschwindigkeit;
\(G\): Gravitationskonstante (nicht Schwerebeschleunigung \(g\;\)!!!);
\(k_{B}\): Boltzmannsche Konstante.
Die Zahlenwerte und Einheiten dieser Naturkonstanten kann man nachschlagen.
Die Einheit der Größe erhalten wir wie folgt: \begin{align*} \left[\hbar\right] &= {\rm J \cdot s};\\ \left[c\right] &= \frac{\rm m}{\rm s};\\ \left[G\right] &= \frac{\rm N \cdot m^2}{\rm kg^2};\\ \left[k_B\right] &= \frac{\rm J }{\rm K}.\\ \end{align*} \[ \left[X\right] = \sqrt{\frac{\rm J \; s \; m^5 \; kg^2\; K^2}{\rm s^5 \; N \; m^2 \; J^2 }} = \sqrt{\frac{\rm s \; m \; J^2\; K^2}{\rm s \; J \; m \; J }} = \sqrt{\rm K^2} = {\bf {\rm K}}. \] Für die Maßzahl erhalten wir: \[ \{X\} = \sqrt{\frac{ 1.05457\cdot 10^{-34} \cdot 2.42161\cdot 10^{42}}{6.67430 \cdot 10^{-11} \; 1.90622 \cdot 10^{-46}}} = \sqrt{\frac{ 1.05457 \cdot 2.42161}{6.67430 \cdot 1.90622 }} \cdot \sqrt{\frac{ 10^{-34} \cdot 10^{42}}{ 10^{-11} \cdot 10^{-46}}} \] \[ = 0.448 \cdot 3.1623 \cdot 10^{32} = {\bf 1.417 \cdot 10^{32}}. \] Bei der Größe \(X\) handelt es sich um die Planck-Temperatur, eine fundamentale Naturgröße, siehe hier. Planck beabsichtigte, Größen zu definieren, so dass ... die Möglichkeit gegeben ist, Einheiten für Länge, Masse, Zeit und Temperatur aufzustellen, welche, unabhängig von speciellen Körpern oder Substanzen, ihre Bedeutung für alle Zeiten und für alle, auch ausserirdische und aussermenschliche Culturen nothwendig behalten und welche daher als »natürliche Maasseinheiten« bezeichnet werden können.

Q2-1 — Rechnen mit signifikanten Stellen

Welche der folgenden Rechnungen mit Zahlen, die eine begrenzte Anzahl signifikanter Stellen aufweisen, ist korrekt? In den Gleichungen wird der Punkt als Dezimalseparator verwendet.

    Die folgenden Rechnungen treffen zu:    

Lösung: (A), (B) und (D) sind richtig.
(A) ist richtig, denn das Produkt aus zwei Zahlen mit jeweils drei signifikanten Stellen muss ebenfalls drei signifikante Stellen aufweisen.
(B) ist richtig, denn \(18.3-0.04=18.3\) mit drei sign. Stellen. Das Produkt mit einer Zahl mit zwei signifikanten Stellen hat ebenfalls zwei signifikante Stellen, also muss die dritte Stelle des Produktes gleich Null gesetzt werden, da über diese Stelle nichts bekannt ist. Statt \(130\) hätte man auch schreiben können: \(1.3 \cdot 10^{2}\), um die leidige Uneindeutigkeit der Null zu überwinden.
(C) ist falsch, da die Zahl \(7.8\) nur zwei signifikante Stellen hat.
(D) ist richtig, da \(7.0\) zwei signifikante Stellen hat, also auch der Kehrwert.

Q2-2 — Instrumentelle Auflösung

Monochromatoren sind Geräte, die breitbandinges, polychromatisches Licht räumlich in die darin vorkommenden Anteile trennen. Die absolute Auflösung eines am Berliner Elektronenspeicherring BESSY-II installierten Monochromators für den weichen Röntgenbereich beträgt bei einer Photonenenergie von \(E=4,0 \cdot 10^{2}\; {\mathrm eV}\): \(\Delta E = 25\;{\rm meV}\). Wie groß ist die relative Auflösung bei dieser Energie? (Beachten Sie bitte, dass nach der relativen Auflösung gefragt wird und nicht nach dem relativen Fehler.)

Die relative Auflösung beträgt etwa:    \(16\)
   \(16000\)
   \(6,3 \cdot 10^{-5}\)
   \(6,3 \cdot 10^{-2}\).

Lösung: Zur Lösung der Aufgabe verwenden wir folgende Gleichung aus der 2. Vorlesung: \begin{equation*} \delta M = \frac{M}{\Delta M}. \end{equation*} und setzen die Größen aus der Aufgabenstellung ein: \begin{align*} \delta E &= \frac{E}{\Delta E}\\ &= \frac {\rm 4,0\cdot 10^{2}\;eV}{\rm 25\;meV}\\ &= \frac {\rm 4,0\cdot 10^{2}\;eV}{\rm 25 \cdot 10^{-3}\;eV} &= 16000. \end{align*} (Zwei signifikante Stellen.)

Eine relative Auflösung von 16000 ist für einen Monochromator im weichen Röntgenbereich gigantisch; Laser haben eine noch viel höhere Auflösung.

Q2-3 — Taylor-Reihe

Zur Berechnung von \(\sqrt{17}\) kann man vom bekannten Wert von \(\sqrt{16}\) ausgehen, die Taylorsche Reihenentwicklung nutzen und näherungsweise lediglich den in \(\Delta x\) linearen Term der Reihe berücksichtigen. Nutzen Sie die Definition der Taylor-Reihe aus der zweiten Vorlesung. Welche der folgenden Aussagen treffen zu?

Die folgenden Aussagen treffen zu (Mehrfachauswahl):

Lösung:A und C sind richtig.
Der Taschenrechner liefert die in (A) genannte Zahl.
Aus der Taylor-Entwicklung ergibt sich mit der oben genannten linearen Näherung: \begin{align*} \sqrt{17} &= \sqrt{16} + \dfrac{1}{1!} \cdot \left(\frac{\diff \sqrt{x}}{\diff x}\right)_{x=16} \cdot \Delta x + ({\rm ...wird\;ignoriert...})\\ \frac{\diff \sqrt{x}}{\diff x} &= \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}}\\ \end{align*} Mit \(\Delta x = 1\) und \(\dfrac{1}{1!} = 1\) folgt: \begin{align*} \sqrt{17} &= 4 + \left(\frac{1}{2 \cdot \sqrt{16}}\right) \cdot 1\\ \sqrt{17} &= 4 + \frac{1}{8} = 4.125.\\ \end{align*} Also ist (C) richtig.
Die prozentuale Abweichung \(\Delta \%\) beträgt \[ \frac{4.125-4.123}{4.123} \cdot 100 = 0.0485\;\% \] also ist (D) falsch, aber eine Abweichung von ca. 0.05 % ist ja nun auch nicht schlecht.
Der Übungsleiter hat die Taylor-Reihe in seiner langjährigen Berufspraxis noch nie für etwas anderes verwendet als für eine lineare Approximation im Sinne der obigen Aufgabe.

Q2-4 — Dimensionslose Konstanten

Schlagen Sie in einem Physik-Buch die Definition der Gravitationskraft \(F_G\) und der elektrostatischen Wechselwirkungskraft (Coulomb-Kraft) \(F_C\) nach.
Wir betrachten 2 Protonen, die sich in einem Abstand \(r\) voneinander befinden.
Welche der folgenden Aussagen treffen zu?

    Die folgenden Aussagen treffen zu:    

Lösung: (A) und (C) sind richtig.
\(\dfrac{F_C}{F_G}\) ist eine von Martin Rees's Six Numbers aus seinem berühmten Buch Just Six Numbers.
Die Zahl beschreibt das Verhältnis zweier Kopplungen, nämlich der Coulomb-Kopplung und der gravitatorischen Kopplung zweier Protonen.
Es ist \[ F_C = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} \] mit \(q_1 = q_2 = -e_0\)und \[ F_G = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2} \] mit \(m_1 = m_2 = m_p\) (Masse des Protons) und der Gravitationskonstante \(G\) (das ist nicht dasselbe wie die Schwerebeschleunigung \(g\)).
Teilen wir die beiden Gleichungen durcheinander, so ergibt sich \[ \frac{F_C}{F_G} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{1}{G} \cdot \frac{{e_{0}}^2}{{m_p}^2}. \] Wie man sieht, kürzt sich der Faktor \(r^2\) heraus, und das Verhältnis hängt nicht vom Abstand ab; (B) ist daher falsch.
Setzen wir Zahlenwerte ein (Konstanten nachschlagen!), so erhalten wir das Ergebnis von (C); (C) ist also richtig.
(D) hört sich gut an, macht aber überhaupt keinen Sinn; (D) ist falsch.

Q2-5 — Das geheimnisvolle Y

Eine gewisse Größe \(Y\) ist wie folgt bestimmt: \[ Y = \frac{4 \pi \epsilon_0 \hbar^2}{{e_0}^2 \; m_{e}} \] mit der elektrischen Elementarladung \(e_0\) und der Ruhmasse des Elektrons \(m_e\).
\(\hbar\) und \(\epsilon_0\) sind Standardbezeichnungen und können nachgeschlagen werden.
Welche der folgenden Aussagen treffen zu?

    Die folgenden Aussagen treffen zu:    

Lösung: (B) und (C) sind richtig.

Q2-6 — Grundlagen der Fehlerrechnung

Welche der folgenden Aussagen treffen zu (Mehrfachauswahl)?

    Die folgenden Aussagen treffen zu:    

Lösung: (A), (B) und (C) sind richtig. Das ist in der VL genau erklärt.

Q2-7 — Rechnen mit signifikanten Stellen

Welche Zahl ergibt sich aus der Differenz 119.3 – 0.003, wenn die Anzahl signifikanter Stellen berücksichtigt wird?

Die Differenz beträgt:    119.297
   119.30
   119.3
   119

Lösung: Wir berechnen zunächst das numerische Ergebnis: \[ 119,3 - 0,003 = 119,297. \] Die letzte signifikante Stelle der Zahl \(119,3\) ist die erste Nachkommastelle, also darf das Ergebnis auch nur auf diese Stelle genau sein. Wir müssen daher das Ergebnis auf diese Stelle runden: \[ 119,297 \approx 119,3 \] und erhalten daher: \[ 119,3 - 0,003 = 119,3. \] Nehmen wir zum Beispiel an, es handle sich um eine Gramm-Angabe auf einer Waage, die nur auf 100 mg genau ist (erste Nachkommastelle). Wenn wir der Stoffmenge auf der Waage 0,003 g entnehmen, zeigt sie immer noch 119,3 g an.

Q2-8 — Rechnen mit signifikanten Stellen (Multiplikation)

Berechnen Sie das Produkt 12,5 · 1,25 unter Berücksichtigung der Anzahl signifikanter Stellen!

   12,5 · 1,25 =       15,6
   15,625
   16
   1,5625 · 101

Lösung: Wir berechnen zunächst numerisch: \[12,5 \cdot 1,25 = 15,625\] Beide Ausgangszahlen weisen drei signifikante Stellen auf, also darf auch das Produkt nur drei signifikante Stellen aufweisen. Wir runden daher auf drei signifikante Stellen: \[ 15,625 \approx 15,6 \] Damit erhalten wir unter Berücksichtigung der Anzahl signifikanter Stellen: \[12,5 \cdot 1,25 = 15,6.\]

Q2-9 — Folgefehler

Eine quadratische Platte der Fläche \(a\) hat die Seitenlänge \(x = \left(1,50 \pm 0,01\right)\;{\rm m}\). Welche Fläche hat die Platte?

   \(a\) =    




Lösung: (C) ist richtig.
\[a = x^2\] \[\frac{{\rm d}a}{{\rm d}x} = 2x\] \[{\rm d}a = 2x {\rm d}x\] \[\Delta a = 2x \Delta x\] \[\Delta a = 2 \cdot 1,5\;{\rm m} \cdot 0,01 {\rm m} = 0,03\;{\rm m^2}\] \[ a = \left(2,25 \pm 0,03\right)\;{\rm m^2}\]

Q2-10 —Fehlerrechnung

Eine theoretische Zielgröße \(G\) werde durch Messungen im Labor bestimmt. Welche der nachfolgend genannten Aussagen sind zutreffend?

    Die folgenden Aussagen treffen zu:    





Lösung

(A) ist richtig, das ist ja in der Aufgabenstellung bereits enthalten.

(B) ist falsch; es müssen alle Fehler berücksichtigt werden. Nur wenn ein partieller Fehler sehr klein gegenüber den anderen Fehlern ist, kann er auch weggelassen werden. Sehr klein heißt hier: kleiner als 1%.

(C) und (D) sind richtig, beides ist Inhalt der Vorlesung.

Q2-11 — Fehlerbehaftete Größen

Wird ein elektrischer Widerstand \(R\) von einem Strom \(I\) durchflossen, so beträgt die Wärmeleistung an diesem Widerstand: \[ P = I^2 \cdot R. \] Welcher der nachfolgend genannten Ausdrücke für den maximalen Fehler \(\Delta P_{\rm max}\) ist korrekt?

   Die markierte Antwort trifft zu:   





Lösung \[\Delta P_{\rm max} = \frac{\pdiff P}{\pdiff I}\cdot \Delta I + \frac{\pdiff P}{\pdiff R} \cdot \Delta R.\] \[ \frac{\pdiff P}{\pdiff I} = 2IR, \] denn R ist als Konstante zu behandeln; und \[ \frac{\pdiff P}{\pdiff R} = I^2, \] denn \(I\) ist als Konstante zu behandeln; also ist \[ \Delta P_{\rm max} = 2IR \cdot \Delta I + I^2 \cdot \Delta R = I \cdot \left(2R\Delta I + I \Delta R\right)\] Also ist (B) richtig.

Q2-12 — Fehlerrechnung

Die kinetische Energie eines Körpers \(E_{\rm kin}\) ist bekanntlich gegeben zu \[ E_{\rm kin} = \frac {m\cdot v^2}{2} \] Wie groß ist die kinetische Energie, wenn \(m=\left(0,250 \pm 0,005\right)\;{\rm kg}\) und \(v = \left(5,50 \pm 0,02\right)\;{\rm m/s}\)? Es ist die kinetische Energie zusammen mit dem wahrscheinlichsten Fehler anzugeben.

   Die kinetische Energie beträgt:   





Lösung

Berechnung der kinetischen Energie ohne Berücksichtigung des Fehlers: \[ E_{\rm kin} = \frac {m\cdot v^2}{2} = 3,78125 \; {\rm \frac{kg \cdot m^2}{s^2}}\] Berechnung des wahrscheinlichsten Fehlers: \[\Delta E_{\rm kin} = \sqrt{\left(\frac{\pdiff E}{\pdiff m}\Delta m\right)^2 +\left(\frac{\pdiff E}{\pdiff v}\Delta v\right)^2} \] \[\frac{\pdiff E}{\pdiff m} = \frac{v^2}{2} \] \[\frac{\pdiff E}{\pdiff v} = mv \] \[\Delta E_{\rm kin} = \sqrt{\left(\frac{v^2}{2}\Delta m\right)^2 +\left(mv\Delta v\right)^2} \] \[ \frac{v^2}{2} = 15,125 \;{\rm \frac{m^2}{s^2}} \] \[ \frac{v^2}{2} \cdot \Delta m = 0,0756 \;{\rm \frac{kg \cdot m^2}{s^2}} \] \[ \left(\frac{v^2}{2} \cdot \Delta m\right)^2 = 0,005719 \;{\rm \frac{kg^2 \cdot m^4}{s^4}} \] \[ m\cdot v = 1,375\;{\rm kg \cdot m/s} \] \[ m\cdot v \cdot \Delta v= 0,0275\;{\rm kg \cdot \frac{m^2}{s^2}} \] \[ \left(m\cdot v \cdot \Delta v\right)^2= 0,000756\;{\rm kg^2 \cdot \frac{m^4}{s^4}} \] \[ \left(\frac{v^2}{2} \cdot \Delta m\right)^2 +\left(m\cdot v \cdot \Delta v\right)^2 = 0,006475 \;{\rm \frac{kg^2 \cdot m^4}{s^4}} \] \[ \sqrt{\left(\frac{v^2}{2} \cdot \Delta m\right)^2 +\left(m\cdot v \cdot \Delta v\right)^2} = 0,0805 \;{\rm \frac{kg^2 \cdot m^4}{s^4}} \] Der Fehler wird gerundet auf \[\Delta E_{\rm kin} = 0,08 \; {\rm \frac{kg \cdot m^2}{s^2}} \]

Damit ergibt sich insgesamt:

\[ E_{\rm kin} = \left(3,78 \pm 0,08 \right) {\rm \frac{kg \cdot m^2}{s^2}} \] Die Anzahl signifikanter Stellen bei der Angabe der kinetischen Energie ist durch die Größe des Fehlers festgelegt.

Q2-13 — Signifikante Stellen bei Angabe von Wert und Fehler

Bei der Auswertung von Messdaten ergibt sich für das Standardpotential \(E^0\) einer elektrochemischen Zelle zunächst: \[ E^0 = \left(1,177235 \pm 0,03128\right)\;{\rm V}.\]

In welcher Weise müssen Wert und Fehler angegeben werden?
    \(E^0 \;\;\;=\)    





Lösung

Zunächst betrachten wir den Fehler. Dieser muss nach Vereinbarung "anderthalb-stellig" sein, es muss entsprechend gerundet werden (vgl. 3. Vorlesung Abb. 3). Der Fehler \(\Delta E^0 = 0,03128\;{\rm V}\) wird also auf \(\Delta E^0 \approx 0,03\;{\rm V}\) abgerundet.

Damit ist bereits die zweite Nachkommastelle des Wertes \(E^0 = 1,177235 \;{\rm V}\) fehlerbehaftet; weitere Stellen haben keinen Sinn.
Es muss auf die zweite Nachkommastelle gerundet werden. Daher ist Anwort (C) richtig.

Q2-14 —Der gute alte Rundkolben

Ein Rundkolben, den wir uns vereinfacht als Kugel vorstellen wollen, hat ein Füllvolumen von \(V = \left(500 \pm 10\right)\;{\rm mL}\), wobei \({\rm mL}\) Milliliter bedeutet. Wie groß ist der Radius \(r\) des Kolbens in der Einheit Millimeter und wie groß ist der Fehler des Radius \(\Delta r\)?

Hinweis: schlagen Sie nach, wie Volumen und Radius einer Kugel zusammenhängen! Lösen Sie diese Gleichung nach dem Radius auf. Der Radius hängt nur von einer Messgröße ab, man benötigt also keine partiellen Ableitungen, und der Unterschied zwischen dem maximalen Fehler und dem wahrscheinlichsten Fehler existiert nicht.

   Die markierte Antwort trifft zu:   





Lösung

\[ V = \frac{4 \pi \cdot r^3}{3} \] Nach \(r\) auflösen: \[ r = \sqrt[3]{\frac{3V}{4 \pi}} = \left(\frac{3V}{4 \pi}\right)^\frac{1}{3} = \left(\frac{3}{4 \pi}\right)^{\frac{1}{3}} \cdot V^{\frac{1}{3} }\] Um den Fehler in \(r\) zu berechnen, müssen wir \(r\) nach \(v\) ableiten: \[ \frac{\diff r}{\diff V} = \left(\frac{3}{4 \pi}\right)^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{1}{3} \cdot V^{-\frac{2}{3}}\] \[\Delta r = \frac{\diff r}{\diff V} \cdot \Delta V = \left(\frac{3}{4 \pi}\right)^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{1}{3} \cdot V^{-\frac{2}{3}} \cdot \Delta V. \]

Jetzt setzen wir Zahlenwerte ein. Wir rechnen am besten in SI-Einheiten und rechnen am Ende in Millimeter um.

\[ 500\;{\rm mL} = 0,5\;{\rm L} = 5 \cdot 10^{-4}\;{\rm m^3}, \] da \(1\;{L} = 10^{-3}\;{\rm m^3}\).

Damit ist \(r\) gegeben zu: \[ r = \left(\frac{3}{4 \pi}\right)^{\frac{1}{3}} \cdot \left(5 \cdot 10^{-4}\;{\rm m^3} \right)^{\frac{1}{3} } = 0,049237251\;{\rm m} = 49,237251\;{\rm mm},\]

wobei wir erst später genauer runden.

Jetzt berechnen wir \(\Delta r\) mit \(\Delta V = 10\;{\rm mL} = 10 \cdot 10^{-6}\;{\rm m^{3}} = 10^{-5}\;{\rm m^{3}} \): \[\Delta r = \left(\frac{3}{4 \pi}\right)^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{1}{3} \cdot \left( 5\cdot 10^{-4} \; {\rm m^3} \right)^{-\frac{2}{3}} \cdot 10^{-5}\;{\rm m} = 3,28248 \cdot 10^{-4} \; {\rm m} = \mathbf {0,328248 \;\rm mm}. \] Unser Resultat lautet also zunächst: \[ r = \left(49,237251 \pm 0,328248\right)\;{\rm mm}. \] Der Fehler muss gerundet werden; \(0,328248\) liegt näher an \(0,35\) als an \(0,3\), daher verwenden wir diesen Wert. Die erste Nachkommastelle des Radius ist also fehlerbehaftet, daher runden wir auf diese erste Nachkommastelle und erhalten schließlich: \[ r = \left(49,2 \pm 0,35\right)\;{\rm mm}. \]

Die richtige Antwort ist also Antwort (D).

(Wenn Sie mal die Probe machen und \(V\left(r + \Delta r \right)\) ausrechnen, kommen Sie auf \(510\;{\rm mL}\), wie zu erwarten.

Q2-15 —Fehlerraum

Welche der folgenden Aussagen treffen zu (Mehrfachauswahl)?

    Die folgenden Aussagen treffen zu:    





Lösung

(A) und (C) sind richtig und sind unmittelbar der Vorlesung entnommen. (B) ist falsch, der Fehlerraum kann auch 11-dimensional sein, wenn 11 Fehlerquellen vorliegen. (D) ist falsch, weil es auf die physikalisch-chemischen Inhalte hier gar nicht ankommt. Die Fehlerrechnung gilt allgemein.

Q2-16 —Relative Fehler

Welche der folgenden Aussagen treffen zu (Mehrfachauswahl)?

    Die folgenden Aussagen treffen zu:    





Lösung

(A) ist richtig, weil \(\delta G = \frac{\Delta G}{G}\)

(B) ist richtig, siehe Vorlesung.

(C) ist falsch, siehe (B).

(D) ist richtig, denn (siehe auch die 3. Vorlesung): \[G = M^2;\] \[ \Delta G = \frac{\diff G}{\diff M} \cdot \Delta M = 2M\cdot \Delta M ; \] \[ \delta G = \frac{\Delta G}{G} = \frac{2M \Delta M}{M^2} = 2 \frac{ \Delta M}{M} = 2 \delta M \]

Q2-17 —Kreis und Kreisumfang

Der Radius \(r\) eines Kreises ändere sich um \(\Delta r = + 10\;{\rm cm}\). Welche der nachfolgend genannten Aussagen sind zutreffend?

    Die folgenden Aussagen treffen zu:    





Lösung

Für den Umfang \(U\) und den Radius \(r\) gilt: \[ U = 2 \pi \cdot r;\] \[ \frac{\diff U}{\diff r} = 2\cdot \pi. \] \[ \diff U = 2 \pi \diff r \] \[ \Delta U = 2 \pi \Delta r \]

(der Übergang von \(\diff\) auf \(\Delta\) ist hier nicht nur in Näherung, sondern streng richtig!)

\[ \Delta U = 2 \pi \cdot 10\;{\rm cm} \approx 62,83\;{\rm cm}. \]

(A) ist also richtig.

(B) ist falsch; die Änderung des Umfangs hängt offensichtlich nicht vom Radius ab.

(D) ist falsch, \(\Delta u\) und \(\Delta r\) sind einander proprotional.

Q2-18 —Relativer Fehler des Produktes zweier Größen

Der Impuls \(p\) eines Körpers ist (im unrelativistischen Grenzfall) definiert als \(p = m \cdot v\) mit der Masse \(m\) und der Geschwindigkeit \(v\) als Messgrößen. Welche der nachfolgend genannten Aussagen sind zutreffend?

    Die folgenden Aussagen treffen zu:    





Lösung

Nur (A) ist richtig; alle anderen Gleichungen sind verkehrt, vgl. Vorlesung. Hier die genaue Rechnung: \[ p = m \cdot v \] \[ \diff p = \frac{\pdiff p}{\pdiff v} \cdot \diff v + \frac{\pdiff p}{\pdiff m} \cdot \diff m \] \[ \Delta p_{\rm max} = \frac{\pdiff p}{\pdiff v} \cdot \Delta v + \frac{\pdiff p}{\pdiff m} \cdot \Delta m \] \[ \Delta p_{\rm max} = m \cdot \Delta v + v \cdot \Delta m \] \[\delta p_{\rm max} = \frac{ \Delta p_{\rm max}}{p} = \frac{v \cdot \Delta m}{v \cdot m} + \frac{m \cdot \Delta v}{m \cdot v} = \delta m + \delta v. \]

Q2-19 — Brechungsindex

Dringt Licht einer gegebenen Wellenlänge aus dem Vakuum unter dem Winkel \(\alpha_{V}\) zum Lot in ein transparentes Medium ein, so ändert sich der Winkel zum Lot auf einen Wert \(\alpha\) (siehe Abbildung). Dieses Phänomen wird als Brechung des Lichtes bezeichnet.

Das Verhältnis der beiden Winkel wird als Brechungsindex \(n_{0}\) bezeichnet: \[ \frac{\sin \alpha_{V}}{\sin \alpha} = n_0. \] Wie groß ist der Brechungsindex \(n_{0}\) des Mediums einschließlich des wahrscheinlichsten Fehlers \(\Delta n_{0}\), wenn \(\alpha_{V} = \left(30 \pm 1\right)^{\circ}\) und \(\alpha = \left(21 \pm 1\right)^{\circ}\)?
Hinweis: Rechnen Sie zunächst alle Winkel in \({\rm rad}\) um!

   \(n_0 =\)   





Lösung

(C) ist richtig. \begin{align*} n_0 &= \frac{\sin \alpha_{V}}{\sin \alpha} = \frac{\sin 30^{\circ}}{\sin 21^{\circ}} \approx 1,39521(\ldots)\\ \diff n_0 &= \left(\frac{\pdiff n_0}{\pdiff \alpha_V}\right)_{\alpha} \cdot \diff{\alpha_V} + \left(\frac{\pdiff n_0}{\pdiff \alpha}\right)_{\alpha_V} \cdot \diff{\alpha}\\ \Delta {n_0}_{\rm max} &= \left(\frac{\pdiff n_0}{\pdiff \alpha_V}\right)_{\alpha} \cdot \Delta {\alpha_V} + \left(\frac{\pdiff n_0}{\pdiff \alpha}\right)_{\alpha_V} \cdot \Delta {\alpha}\\ \Delta n_0 &= \sqrt{\left(\left(\frac{\pdiff n_0}{\pdiff \alpha_V}\right)_{\alpha} \cdot \Delta {\alpha_V}\right)^{2} + \left(\left(\frac{\pdiff n_0}{\pdiff \alpha}\right)_{\alpha_V} \cdot \Delta{\alpha}\right)^{2}}\\ \left(\frac{\pdiff n_0}{\pdiff \alpha_V}\right)_{\alpha} &= \frac{\cos \alpha_V}{\sin \alpha} \approx 2,41658\\ \left(\frac{\pdiff n_0}{\pdiff \alpha}\right)_{\alpha_{V}} &= - \frac{\cos \alpha \cdot \sin \alpha_{V} }{(\sin \alpha)^2} \approx - 3,6351\\ \end{align*} Die Winkelfehler \(\Delta \alpha_V\) und \(\Delta \alpha\) müssen unbedingt in Radian eingegeben werden, sonst funktioniert die Rechnung nicht. \[1^{\circ} = \frac{\pi}{180} \approx 0,017453\] \[\sqrt{(2,41658 \cdot 0,017453)^2 + (3,6351 \cdot 0,017453)^{2}} \approx 0,07618\] Die nächstgelegene Fehlermarke ist \(0,075\), denn \(0,08\) und \(0,07\) sind zu weit weg; dies ist also der wahrscheinlichste Fehler.
Aus dem Fehler ergibt sich, dass die zweite Nachkommastelle von \(n_0\) diejenige Stelle ist, auf die gerundet werden muss, also auf \(1,40\).
Damit ergibt sich: \[ n_0 = 1,40 \pm 0,075. \]