\(\newcommand{\diff}{{\rm d}}\) \(\newcommand{\pdiff}{{\partial}}\) \(\newcommand{\ohm}{\Omega}\) \(\newcommand{\Ohm}{\Omega}\)

Lösungen zum zwölften Übungsbogen

Q12-0 - Leitfähigkeit und Temperatur von Metallen

Welche der folgenden Aussagen treffen zu (Mehrfachauswahl)?

    Die folgenden Aussagen treffen zu:    





Lösung: Nur (B) ist richtig. (A) ist falsch, weil die Temperatur von 0 ℃ überhaupt nichts besonderes ist; es ist nur zufällig der Gefrierpunkt von Wasser und hat mit den Eigenschaften von Metallen nichts zu tun. (C) ist falsch, der Widerstand nimmt mit \(T\) zu, die Leitfähigkeit also ab. (D) ist falsch, denn der elektrische Widerstand eines dünnen Drahtes ist durchaus messbar.

Q12-1 —Pt100-Thermometer

Welchen elektrischen Widerstand weist ein Pt100-Thermometer bei einer Temperatur von 21,5 ℃ auf?

   Die markierte Antwort trifft zu:   





(B) ist richtig. \[R = 100 + 0,385 \frac{\Omega}{℃} \cdot 21,5 \; ℃ \approx 108,3 \; \Omega. \]

Q12-2 — Pt100-Temperaturbestimmung

Der Widerstand eines Pt100-Thermometers beträgt 113 \(\Omega\). Wie hoch ist die Temperatur?

   Die markierte Antwort trifft zu:   





(D) ist richtig: \[ T = \frac{R-100\;\Omega}{0,385 \frac{\Omega}{℃} } = \frac{\left(113-100\right) \; \Omega}{0,385 \frac{\Omega}{℃}} = \frac{13}{0,385}\; ℃ \approx 33,8 ℃. \]

Q12-3 — Thermoelement

Ein Thermoelement weist einen Seebeck-Koeffizienten von \(\alpha = 39\;\frac{\rm \mu V}{ ℃}\) auf. Die Referenztemperatur beträgt 20  ℃ und es wird eine Thermospannung von 21,3 mV gemessen. Welche Temperatur an der Messstelle lässt sich aus diesen Angaben ermitteln?

   Die Temperatur an der Messstelle beträgt:   





(A) ist richtig: \[\alpha = 39\;\frac{\rm \mu V}{ ℃}\] \[\Delta T = \frac{U}{\alpha} = \frac{21,3 \cdot 10^{-3}\;{\rm V}}{39 \cdot 10^{-6}\;\frac{\rm V}{ ℃}} \approx 546\;℃. \] \[T = 546\;℃ + 20\;℃ = 566\;℃.\]

Q12-4 — Differential-Sperrschichtsensor

Eine Halbleiterdiode 1N4148 wird als Sperrschicht-Sensor bei einem konstant gehaltenen Durchlassstrom von \(I_D=10\;\mu{\rm A}\) verwendet.
Eine Kalibrierung ergibt für diesen Konstantstrom die folgenden Parameter: \[ U_0 = 450\;{\rm mV}; \; \alpha = -2.81\;\frac{\rm mV}{\;°{\rm C}}. \] Es wird eine Spannung von \(U_D=0.483\;{\rm V}\) gemessen. Wie hoch ist die Temperatur der Diode? Welche Temperatur in ℃ wird dem Messobjekt zugeschrieben?

   Die Temperatur in ℃ beträgt:   

(A) ist richtig. Aus der Vorlesung ist bekannt: \begin{align*} U_D &= U_0 + \alpha \cdot T \\ U_D &= 450\;{\rm mV} - 2.81\;\frac{\rm mV}{\;°{\rm C}} \cdot T\\ 483\;{\rm mV} &= 450\;{\rm mV} - 2.81\;\frac{\rm mV}{\;°{\rm C}} \cdot T\\ 483\;{\rm mV} - 450\;{\rm mV} &= - 2.81\;\frac{\rm mV}{\;°{\rm C}} \cdot T\\ \frac{33\;{\rm mV} }{\rm -2.81\;mV }\; \;°{\rm C} &= T\\ T &= - 11.7\;°{\rm C}\\ \end{align*}

Q12-5 — Bolometer

Welche der folgenden Aussagen zu Bolometern treffen zu (Mehrfachauswahl)?

    Die folgenden Aussagen treffen zu:    





Lösung: (A), (B) und (D) sind richtig. Dies wird in der 12. VL ausführlich erklärt. (C) ist falsch, denn die Wärmeleistung hat mit dem Wienschen Verschiebungssatz nichts zu tun.

Q12-6 — Wärmebild-Kamera

Auf einer polierten Stahlplatte liegen unmittelbar aneinander grenzend eine polierte und eine oxidierte Kupferplatte. Das ganze System ist im thermischen Gleichgewicht (\(T = 20\;^0{\rm C}\)). Welche der folgenden Aussagen treffen zu (Mehrfachauswahl)?

    Die folgenden Aussagen treffen zu:    




Lösung: (B), (C) und (D) sind richtig.
(A) ist falsch; die Platten können trotz gleicher Temperatur unterschieden werden, weil ihre Emissivitäten sich unterscheiden. Daher unterscheidet sich ihre Strahlungsleistung, so dass ein Kontrast sichtbar wird.
(B) ist richtig, weil die oxidierte Kupferplatte eine Emissivität von \(\epsilon = 0.78\) aufweist, siehe Tabelle in der 12. Vorlesung.

Q12-7 — Wärmestrahlung (1)

Welche Strahlungsleistung emittiert eine polierte Stahlplatte bei einer Temperatur von 293 K je \({\rm cm^2}\)?

   Die Strahlungsleistung je \({\rm cm^2}\) beträgt:   



Lösung: (A) ist richtig. \(293\;{\rm K}\) entsprechen \(20\;^0{\rm C}\); für diese Temperatur beträgt die Emissivität \(\epsilon\) einer polierten Stahlplatte: \(\epsilon = 0.28\).
Damit ergibt sich für die Strahlungsleistung einer Fläche \(A=1\;{\rm cm^2} = 1\cdot 10^{–4}\;{\rm m^2}\): \[ \Phi = 0.28 \cdot 5.67\cdot 10^{-8} \frac{\rm W}{\rm m^{-2}\;K^{-4}} \cdot 10^{-4}\;{\rm m^2} \cdot 293^4\;{\rm K^4} = 0.0117 \;{\rm W}. \]

Q12-8 — Wärmestrahlung (2)

Wie Prozent mehr Wärmestrahlung emittiert ein Heizkörper bei der Temperatur von \(50\;{^0{\rm C}}\) als bei \(30\;{^0{\rm C}}\)?

   Die prozentuale Erhöhung \(\Delta \%\) der Strahlungsleistung beträgt ungefähr:   




Hinweis: \(\Delta \% = \dfrac{neu - alt}{alt} \times 100\)

Lösung: (B) ist richtig. Wir nehmen mal an, dass sich die Emissivität \(\epsilon\) bei einer Temperaturerhöhung von \(30\;{\rm ^0C}\) auf \(50\;{\rm ^0C}\) nicht groß ändert. Dann ist die Änderung der Strahlungsleistung einfach gegeben durch \[ \frac{\Phi_{50}}{\Phi_{30}} = \frac{323^4}{303^4} = 1.29. \] Folglich nimmt die Strahlungsleistung um ca. 30% zu.

Q12-9 — Thermistor

Der Thermistor SEMI-833 weist die folgenden Parameter auf: \begin{align*} A &= 7.37 \cdot 10^{-4} \;{\rm K^{-1}},\\ B &= 2.189 \cdot 10^{-4} \;{\rm K^{-1}},\\ C &= 9.4 \cdot 10^{-8} \;{\rm K^{-1}}.\\ \end{align*} Welchen Widerstand weist der Thermistor bei einer Temperatur von 80 °C auf?

   Der Widerstand in \(\Omega\) beträgt:   

(D) ist richtig, d.h. keine der Lösungen (A)–(C) stimmt.
Die Gleichung des Thermistors lautet: \[ \frac{1}{T} = A + B \ln R + C\;\left(\ln R\right)^3. \] Die Koeffizienten A, B und C sind in der Aufgabenstellung gegeben.
Setzen wir \[ \ln R = X, \] dann erhalten wir die folgende kubische Gleichung: \[ \frac{1}{T} = A + BX + CX^3, \] also nach Einsetzen der Zahlenwerte für \(A\), \(B\) und \(C\) mit T=80°C = 353.15 K und \(T^{-1} = 2.83\cdot 10^{-3} \;{\rm K^{-1}}\) : \[ 2.83\cdot 10^{-3} \;{\rm K^{-1}} = 7.37 \cdot 10^{-4} \;{\rm K^{-1}} + 2.189 \cdot 10^{-4} \;{\rm K^{-1}} \cdot X + 9.4 \cdot 10^{-8} \;{\rm K^{-1}} \cdot X^3. \] Diese kubische Gleichung lösen wir mit einem beliebigen CAS-Programm und erhalten: \[ X = \ln R = 9.224 \] Demnach ist \(R = \exp(X)\) gleich \[ R = 10.14 \;{\rm k\Omega}. \]