U10: Lösungen

$\newcommand{\diff}{{\rm d}}$ $\newcommand{\pdiff}{{\partial}}$ $\newcommand{\ohm}{\Omega}$ $\newcommand{\Ohm}{\Omega}$

Lösungen zum zehnten Übungsbogen

Q10-0

Welche der folgenden Aussagen zu Monochromatoren treffen zu (Mehrfachauswahl)?

Lösung:

(A) und (C) sind richtig, dies wird ausführlich in der Vorlesung erklärt. (B) ist falsch, denn es gibt auch Prismen-Monochromatoren. und (C) sind richtig. (D) ist falsch, weil die Nullte Beugungsordnung zu den Eigenschaften des Gitters gehört; mit dem Monochromator hat das gar nichts zu tun.

Q10-1

Welche der folgenden Aussagen treffen zu (Mehrfachauswahl)?

Die folgenden Aussagen treffen zu:

(A) Das Wellenlängenintervall $\Delta \lambda$, das den Austrittsspalt eines Monochromators verlässt, ist nie gleich Null.
(B) Eine Erhöhung der spektralen Auflösung geht auf Kosten der Intensität.
(C) Wenn am Austrittsspalt gilt: $\lambda = 335\;{\rm nm}$ und $\Delta \lambda = 0,4\;Å$, dann ist die spektrale Auflösung ungefähr gleich 8400.
(D) Für eine gegebene Gitterordnung wächst die spektrale Auflösung mit der Gitterkonstanten $G$ an.

Lösung:

Alle Antworten (A)-(D) sind richtig.

Q10-2

Welche der folgenden Aussagen zur linearen Dispersion $D_{x}$ eines Monochromators treffen zu?

Die folgenden Aussagen treffen zu: (A) Die lineare Dispersion $D_{x}$ ist dimensionslos.

(B) Eine gebräuchliche Einheit der linearen Dispersion $D_{x}$ ist $\frac{\rm mm}{\rm nm}$.

(D) Die lineare Dispersion $D_{x}$ hängt vom Abstand zwischen Vorspiegel (Kollimator) und Gitter ab.

Lösung:

(A, (B) und (C) sind richtig. (D) ist falsch, weil das Licht zwischen Vorspiegel und Gitter parallel ist und es auf den Abstand daher überhaupt nicht ankommt.

Q10-3

Welche der folgenden Aussagen zum Strahlengang in einem sphärischen Hohlspiegel treffen zu (vgl. Abb. 10-1 der 11. Vorlesung)?

Die folgenden Aussagen treffen zu: (A) Der Brennpunkt des sphärischen Hohlspiegels ist unabhängig von der Wellenlänge des Lichtes.

(B) Vom Brennpunkt ausgehende Strahlen werden zu Parallelstrahlen.

(C) Lichtstrahlen, die achsennah parallel zur Hauptachse auf den Spiegel treffen, durchlaufen nach der Reflexion den Brennpunkt.

(D) Die Brennweite $f$ des sphärischen Hohlspiegels ist gleich dem halben Abstand zwischen dem Scheitelpunkt $S$ des Spiegels und dem Kugelmittelpunkt $M$.

Lösung: Die Aussagen sind alle richtig; sie ergeben sich unmittelbar aus dem Abschnitt Reflexion und Abbildung an gekrümmten Flächen der 11. Vorlesung.

Q10-4 — Lineare Dispersion

Die Winkeldispersion eines Monochromators mit der Brennweite (= Abstand Kollektor-Austrittsspalt) $L=35\;{\rm cm}$ beträgt bei $\lambda=589\;{\rm nm}$: $D_\beta=2,07\;{\rm mrad/nm}$. Berechnen Sie die lineare Dispersion des Monochromators bei dieser Wellenlänge in der Einheit mm/nm!

$D_{\beta}$ = (A) $3,25\;\frac{\rm mm}{\rm nm}$.

(B) $720\;\frac{\rm mm}{\rm nm}$.

(D) Nicht beantwortbar, da die Gitterordnung nicht gegeben ist.

Lösung: Die Wellenlänge wird hier überhaupt nicht benötigt.

Es gilt $$D_{x} = L \cdot D_{\beta}.$$ Damit ist $$ D_{x} = 0,35\;{\rm m} \cdot \frac{2,07\cdot10^{-3}{\rm rad}}{\rm nm} = 7.25\cdot10^{-4}\frac{\rm m}{\rm nm} = 0,72\;\frac{\rm mm}{\rm nm}.$$

Anschaulich bedeutet dies, dass der Wellenlängenbereich von $589\;{\rm nm}$ bis $590\;{\rm nm}$ auf eine Strecke von $0,72\;{\rm mm}$ ausgespreizt wird.

Q10-5 — Spektrale Auflösung

Die Spalte eines Monochromators sind auf eine Weite von $200\;\mu {\rm m}$ geöffnet. Welche scheinbare spektrale Breite in der Einheit Å weist streng monochromatische Strahlung von $\lambda=589\;{\rm nm}$ am Austrittsspalt bei einer linearen Dispersion von $D_{x} = 0,72\;{\rm mm/nm}$ auf?

$\Delta \lambda$ = (A) $1,48\;Å$.

(B) $3,93\;Å$.

(D) Nicht beantwortbar, da die Gitterkonstante nicht gegeben ist.

Lösung: $$\Delta \lambda = \frac{\sqrt{2}\cdot S}{D_{x}}.$$ $$\Delta \lambda = \frac{\sqrt{2}\cdot 200\;\mu {\rm m}}{0,72\;\dfrac{\rm mm}{\rm nm}}.$$ $$\Delta \lambda = \frac{\sqrt{2}\cdot 200\;\mu {\rm m} \cdot {\rm nm}}{0,72\;{\rm mm}}.$$ Hier muss man beim Rechnen mit den Größenordnungen sorgfältig sein! Am besten man rechnet die Einheitenvorsätze in die Grundeinheit m um: $$ \Delta \lambda = \frac{\sqrt{2}\cdot 200\cdot10^{-6}\;{\rm m} \cdot 10^{-9}\;{\rm m}}{0,72\cdot10^{-3}\;{\rm m}} = 3,93\cdot10^{-10}\; {\rm m} = 0,393\;{\rm nm} = {3,93\;Å}. $$

Q10-6 — Czerny-Turner-Monochromator.

Gegeben seien Ihnen die folgenden Parameter eines Czerny-Turner-Monochromators:

$G = 1201,5 \; {\rm mm^{-1}}$; Winkel zwischen einfallendem und austretendem Licht: $15,000^{\circ}$. Das Gitter ist um $4,7250^{\circ}$ gegen den Uhrzeigersinn gedreht. Es wird in der ersten negativen Gitterordnung gemessen. Licht welcher Wellenlänge gelangt durch den Austrittsspalt:

$\lambda$ = (A) $135,64\;{\rm nm}$.

(B) $632,80\;{\rm nm}$.

(D) Nicht beantwortbar, da die Brennweite des Refokussierspiegels nicht gegeben ist.

Lösung: Die Gittergleichung für den Czerny-Turner-Monochromator lautet: \begin{equation*} {k\cdot G \cdot \lambda = - 2 \cdot \cos \frac { \theta}{2}\cdot \sin {\phi}} \\ \end{equation*}

Aufgelöst nach $\lambda$ ergibt sich: \begin{equation*} \lambda = \frac{- 2 \cdot \cos \frac { \theta}{2}\cdot \sin {\phi}}{kG} \\ \end{equation*} Mit $k=-1$ also \begin{equation*} \lambda = \frac{ 2 \cdot \cos \frac { \theta}{2}\cdot \sin {\phi}}{G} \\ \end{equation*} $$ \cos \theta/2 = 0,99144$$

$$ \sin \phi = 8,2373 \cdot 10^{-2} $$

$$ G = 1201,5 \cdot 10^{3} \; {\rm m^{-1}} $$

\begin{equation*} \lambda = \frac{ 2 \cdot 0,99144 \cdot 8,2373 \cdot 10^{-2}}{1201,5 \cdot 10^{3} \; {\rm m^{-1}}} \\ \end{equation*} \begin{equation*} \lambda = 1,3594 \cdot 10^{-7}\;{\rm m} = 135,64\;{\rm nm}. \end{equation*}

Hinweis: Licht so kurzer Wellenlänge misst man normalerweise nicht mit einem ST-Monochromator, weil zu hohe Reflektionsverluste an den Spiegeln auftreten. Man nimmt statt dessen einen Monochromator mit einem sphärischen Gitter; so spart man sich die Spiegel.

Q10-7 - Welche der folgenden Aussagen treffen zu (Mehrfachauswahl)?

Die folgenden Aussagen treffen zu:

(A) Der Radius des Rowland-Kreises ist gleich dem Krümmungsradius des sphärischen Gitters.
(B) Divergent von einem Punkt auf dem Rowland-Kreis ausgehendes Licht wird durch das sphärische Gitter kollimiert.
(C) Die Verwendung eines sphärischen Gitters statt einer Anordnung Spiegel-Gitter-Spiegel vermeidet Reflektionsverluste.
(D) In einem normal-incidence-Monochromator wird das sphärische Gitter nahezu senkrecht ausgeleuchtet.

Lösung:

(C) und (D) sind richtig. (A) ist falsch, denn der Radius des Rowland-Kreises ist gleich dem halben Krümmungsradius des Gitters. (B) ist falsch, denn divergent von einem Punkt auf dem Rowland-Kreis ausgehendes Licht wird durch das sphärische Gitter auf einen anderen Punkt des Rowland-Kreises refokussiert.

Q10-8 — Maximales Auflösungesvermögen eines Gitters

Das maximale Auflösungsvermögen $R_{\rm max}$ des Beugungsgitters selbst (nicht des Monochromators!) ist gegeben durch die Gleichung \begin{equation} \label{eqResol} R_{\rm max} = k \cdot N. \end{equation}

Hierin ist $k$ gleich der Beugungsordnung des Gitters und $N$ die Anzahl ausgeleuchteter Gitterlinien.
Drücken Sie in Gl. \ref{eqResol} die Größe $k$ durch die Gittergleichung 10-5 aus und bedenken Sie, dass \[ \left|\sin \alpha + \sin \beta \right|_{\rm max} = 2. \] Die Größe $\frac{N}{G}$ hat die Dimension einer Länge; sie ist gleich der geometrischen Breite $W$ des ausgeleuchteten Gitters.
Welcher der nachfolgenden Ausdrücke gibt die maximale Auflösung $R_{\rm max}$ eines Gitters für eine gegebene Wellenlänge an?

$R_{\rm max}\;=$

(A) $\frac{\lambda^2} {4 W^{2}}$

(B) $\frac{2W}{\lambda}$

(C) $\frac{4 W^2}{\lambda^2}$

(D) $\sqrt{\frac{W }{\lambda}}$

Lösung:

(B) ist richtig:

\begin{align*} R &= k \cdot N \\ \sin \alpha + \sin \beta &= k \cdot G \cdot \lambda \\ k &= \frac{\sin \alpha + \sin \beta}{G \cdot \lambda} \\ R &= \frac{N \cdot \left(\sin \alpha + \sin \beta \right)}{G \cdot \lambda} \\ \frac{N}{G} &= W \\ R &= \frac{W \cdot \left(\sin \alpha + \sin \beta \right)}{ \lambda} \\ \end{align*} $\lambda$ und $W$ sind gegebene Größen; $R$ wird maximal für \[ \left|\sin \alpha + \sin \beta \right|_{\rm max} = 2. \] Daher: \[ R_{\rm max} = \frac{W \cdot \left|\sin \alpha + \sin \beta \right|_{\rm max}}{ \lambda} \] \[ R_{\rm max} = \frac{2W}{\lambda} \]

Anmerkung: An dieser Stelle wundert sich mancher, dass nur die Breite des Gitters und die Wellenlänge eingehen, aber nicht die Gitterordnung. Wie kann das sein? Grund ist, dass wir nach der maximal möglichen Auflösung $R_{\rm max}$ gefragt haben. Bekanntlich nimmt $R = k \cdot N$ mit der Gitterordnung $k$ zu. Je größer $k$, desto größer ist also die Auflösung. Aber: $k$ kann ja nicht beliebig groß werden (siehe 10. Vorlesung). Es gibt für ein gegebenes Gitter und eine gegebene Wellenlänge ein maximales $k$. Und es ist dieses überhaupt mögliche maximale $k$, für das die höchste realisierbare Auflösung $R_{\rm max}$ vorliegt. Das ist der Grund.
Es sei nochmals darauf hingewiesen, dass die reale Auflösung eines Monochromators im wesentlichen eine Funktion der Spaltbreite ist; hier geht um aber um die Auflösung durch das Gitter, nicht durch den Monochromator.

Q10-9 — Maximale Auflösung eines Gitters

Nutzen Sie Ihr Ergebnis aus Aufgabe Q10-8. Gegeben sei ein Gitter, das längs einer Breite von $W=4,428$ cm mit Licht der Wellenlänge $\lambda = 588,9\;{\rm nm}$ gleichmäßig ausgeleuchtet wird. Wie groß ist die maximale Auflösung $R_{\rm max}$ des Gitters bei dieser Wellenlänge (vier signifikante Stellen)?

$R_{\rm max}$ =

(A)$2,261 \cdot 10^{10}$
(B)$4,442 \cdot 10^{–11}$
(C)$1,504 \cdot 10^5$
(D)Nicht beantwortbar, da die Gitterordnung nicht gegeben ist.

Lösung:

\begin{align*} R_{\rm max} &= \frac{2W}{\lambda} \\ R_{\rm max} &= \frac{2 \cdot 4,428\;{\rm cm}}{588,9\;{\rm nm}} \\ R_{\rm max} &= \frac{2 \cdot 4,428 \cdot 10^{-2}\;{\rm m}}{588,9 \cdot 10^{-9}\;{\rm m}} \\ R_{\rm max} &= 150382 \approx 150400 = 1,504 \cdot 10^5. \end{align*}

Q10-10 — Austrittswinkel beim Czerny-Turner-Monochromator.

Bei einem Czerny-Turner-Monochromator betrage der Winkel zwischen einfallendem und austretendem Licht: $|\theta| = 15,000^{\circ}$. Das Gitter ist um $\phi = +4,7250^{\circ}$ gegen den Uhrzeigersinn gedreht. Wie groß sind der Einfallswinkel $\alpha$ (= der Winkel zwischen der Gitternormalen und dem auf das Gitter einfallenden Licht) und der Austrittswinkel $\beta$ (= der Winkel zwischen der Gitternormalen und dem vom Gitter reflektierten Licht)?

$\lambda$ =

(A)    $\alpha = -2.775^{\circ}, \beta = +2.775^{\circ}$

(B)    $\alpha = +2.775^{\circ}, \beta = - 4,7250^{\circ}$

(C)    $\alpha = +2.775^{\circ}, \beta = -12.225^{\circ}$

(D)    Keine der genannten Antworten ist auch nur annähernd richtig.

Lösung:

Der Eintrittswinkel $\alpha$ ist gleich $\alpha = \alpha_0 - \phi$, und $\alpha_0 = \theta/2 = \frac{15.000^{\circ}}{2} = 7.500^{\circ}.$
Demnach ist \[ \alpha = 7.500^{\circ} - 4,7250^{\circ} = +2.775^{\circ}. \] Für $\beta$ liest man aus Abb. 10-7 ab: \[ \beta = \beta_0 - \phi = - \frac{15.000^{\circ}}{2} - 4,7250^{\circ} = -12.225^{\circ}. \]

Q10-11 — Gitter-Drehwinkel beim Czerny-Turner-Monochromator.

Gegeben seien Ihnen die folgenden Parameter eines Czerny-Turner-Monochromators:

$G = 1201,5 \; {\rm mm^{-1}}$; Winkel zwischen einfallendem und austretendem Licht: $|\theta| = 15,000^{\circ}$. Um welchen Winkel $\phi$ muss das Gitter gedreht werden, so dass Licht der Wellenlänge $\lambda=387.5\;{\rm nm}$ den Austrittsspalt verlässt? Es wird in der ersten negativen Gitterordnung gemessen.

Antwort:

(A)    $\phi= +13.580^{\circ}$

(B)    $\phi= -4.265^{\circ}$

(C)    $\alpha = +4.265^{\circ}$

(D)    Keine der genannten Antworten ist auch nur annähernd richtig.

Lösung:

(A) ist richtig.

Wir gehen aus von der Gittergleichung für den Czerny-Turner-Monochromator: \begin{equation*} {k\cdot G \cdot \lambda = - 2 \cdot \cos \frac { \theta}{2}\cdot \sin {\phi}} \\ \end{equation*}

und fragen nach dem Drehwinkel $\phi$ des Gitters, wenn $k=-1$, $\lambda=387.5\;{\rm nm}$, $G = 1201,5 \; {\rm mm^{-1}}$ und $|\theta| = 15,000^{\circ}$.
Für die linke Seite der Gleichung erhalten wir durch Einsetzen: \[ k\cdot G \cdot \lambda = (-1) \cdot 1201.5 \cdot 10^{3} \; {\rm m^{-1}} \cdot 387.5 \cdot 10^{-9}\;{\rm m} = -0.46558. \] Also ist \[ - 2 \cdot \cos \frac { \theta}{2}\cdot \sin {\phi} = -0.46558. \] und \[ \cos \frac { \theta}{2} = \cos \frac {15^0}{2} = 0.99144. \] Damit ergibt sich \[ \sin \phi = \frac {-0.46558}{-2 \cdot 0.99144 } = 0.2348 \] und \[ \phi = \sin^{1} (0.2348) = 13.580^0. \]