Lösung:
Ein Einheitenvorsatz wie z.B. "milli" bindet stärker an die Einheit als eine Potenz.
Das ist gerade so wie bei \( {\rm cm^2} \), das ist nämlich \( {\rm (cm)^2 } \) und nicht \({\rm c(m^2) }\); also das sind Quadratzentimeter und nicht Centi-Quadratmeter.
In der Angabe "\({\rm mA}^2\)" wird also auch das "Milli" quadriert, \( 1\;{\rm mA^2} = 1 {\rm (mA)^2} \).
Die Größe \(1\;{\rm mA}^2\) wird ein Quadratmilliampere
ausgesprochen.
Vergleiche:
\(1\;{\rm m}^2 = \left(100{\rm\;cm}\right) \cdot \left(100\;{\rm cm}\right) = 10^4\;{\rm cm}^2\);
\(1\;{\rm km}^2 = \left(1000{\rm\;m}\right) \cdot \left(1000\;{\rm m}\right) = 10^6\;{\rm m}^2 = 10^{10}\;{\rm cm}^2\).
\[1\;{\rm mA} = 10^{-3}\;{\rm A}\]
\[1\;{\rm mA}^2 = 1\;\left({\rm mA}\right)^2 = 1\;{\rm mA} \cdot 1\;{\rm mA} = 10^{-3}\;{\rm A}\cdot 10^{-3}\;{\rm A} = 10^{-6}\;{\rm A^2}\]
\[238\; {\rm mA}^2 = 238 \cdot 10^{-6}\;{\rm A^2}.\]
Kreuzen Sie die Aussagen über Größen und Einheiten an, die zutreffen!
Lösung: (A) ist falsch, denn es gilt \(G = \{G\} \cdot [G]\); (B) ist richtig, denn \({\rm g}\) und \({\rm cm^2}\) lassen sich nur durch Zahlenfaktoren in SI-Basiseinheiten ausdrücken; (C) ist falsch, denn nach Vereinbarung ist \(\{G\}\) das Symbol für die Maßzahl von \(G\);(D) ist richtig, denn Einheiten werden nicht-kursiv gesetzt, während die Symbole von Größen kursive gesetzt werden.
Kreuzen Sie die Aussagen über Größen und Einheiten an, die zutreffen!
Lösung: (A) ist keine abgeleitete, sondern eine inkohärente SI-Einheit; (B) ist daher richtig; (C) ist falsch, denn \({\rm \frac {mol}{m^3}} \) ist ein Bruch aus SI-Einheiten; (D) ist richtig, das ist die SI-Einheit der Dichte; das ist übrigens dasselbe wie g/L.
Kreuzen Sie die Aussagen über Einheiten und Dimensionen an, die zutreffen!
Lösung: (A) ist falsch, Dimension und Einheit bedeuten nicht dasselbe; (B) ist richtig, denn das Gemeinsame verschiedener Einheiten derselben Größe ist ihre Dimension; (C) ist richtig, denn die SI-Einheit der Energie ist \({\rm \frac{kg \cdot m^2}{s^2} } = {\rm m^2 \cdot kg \cdot s^{-2}}\); schlägt man die Dimension der hier verwendeten SI-Basiseinheiten nach, so findet man gerade den in (C) notierten Ausdruck; (D) ist falsch, weil hier eine Einheit verwendet wird, nicht eine Dimension.
Eine in der Spektroskopie (Monochromatortechnik) wichtige experimentelle Größe ist die lineare Dispersion \(D_x\). Sie gibt an, um welche Strecke \(\Delta x\) zwei Wellenlängen \(\lambda_1\) und \(\lambda_2\) durch einen Monochromator räumlich voneinander getrennt werden (wir werden diese Größe im spektroskopischen Teil der Lehrveranstaltung noch genauer kennenlernen). \(D_{x}\) kennzeichnet das Verhältnis der Strecke \(\Delta x\), um die zwei Wellenlängen getrennt sind, zur Wellenlängendifferenz \(\Delta \lambda = \lambda_{2} - \lambda_{1}\):
\[ D_x = \frac{\Delta x}{\Delta \lambda}.\]
Kreuzen Sie die Aussagen über die lineare Dispersion an, die zutreffen!
Lösung:
(A) ist richtig, denn die Dimension der linearen Dispersion ist \({\sf \frac{L}{L}}\), also hat sie auch keine Einheit. Also ist sie nur eine Zahl.
(B) ist richtig, wie soeben gezeigt.
(C) ist richtig, weil die Einheiten \({\sf mm}\) und \({\sf nm}\) beide die Dimension einer Länge haben.
(D) ist richtig, denn
\( {\rm \frac{mm}{nm} = \frac {10^{-3}\;m}{10^{-9}\;m}} = \frac {10^{-3}}{10^{-9}} = 10^{6}. \)
Kreuzen Sie die Aussagen über den geometrischen Winkel \(\vartheta\) an, die zutreffen!
Lösung:
(A) ist richtig, dies ist die Definition des Winkels.
(B) ist falsch, denn \({\sf \frac{L}{L} }\) ist dimensionslos.
(C) ist richtig, siehe Vorlesung.
(D) ist richtig, da \(90^{\circ} = \frac{\pi}{2}\).
Ein Körper weist eine kinetische Energie von 3,5 J auf. Wie groß ist seine kinetische Energie in der Einheit \({\rm \frac {g \cdot cm^2}{s^2} }\)?
Lösung:
(B) ist richtig, denn \({\rm 3,5 \frac{kg \cdot m^2}{s^2} = 3,5 \frac{10^{3}\;g \cdot 10^{4} cm^2}{s^2} = 3,5 \cdot 10^7 \frac{g \cdot cm^2}{s^2}} \)
Die Einheit \(\frac{\rm g \cdot cm^2}{\rm s}\) wird auch als "erg" bezeichnet. Das erg ist die Vorgängereinheit des Joule (J), es stammt aus dem cgs-System, dem Vorläufer des SI-Systems. Im cgs-System wurde das cm als Längeneinheit und das Gramm (g) als Masseneinheit verwendet.
Kreuzen Sie die zutreffenden Aussagen über Einheitenvorsätze an!
Lösung:
A, C und D sind richtig.
(A) ist richtig, siehe 1. Vorlesung.
(B) ist falsch, weil: \( 589\;{\rm nm} = 5,89 \cdot 10^{-8}\;{\rm m}\); vielmehr ist 589 nm = \(589\cdot 10^{-9}\;{\rm m}\) = \(5,89 \cdot 10^7\;{\rm m}.\)
(C) ist richtig; bei g und kg muss man immer aufpassen, weil sich der Einheitenvorsatz auf die (inkohärente) Einheit Gramm zieht. Bei der Umrechnung in kg darf man das nicht vergessen.
(D) Ist richtig; 1L=\(10^{-3}\;{\rm m^3}\); \(\mu = 10^{-6}\); zusammen also \(10^{-9}\).
Nach dem Ohmschen Gesetz fällt an einem elektrischen Widerstand mit dem Wert \(R\) bei einem Stromfluss \(I\) eine Spannung \(U\) ab, deren Wert sich aus der Größengleichung
\[U = R \cdot I \]
ergibt.
Wie lautet die entsprechende Zahlenwertgleichung, wenn die für die Spannung \(U\) gilt: \([U]\;=\;{\rm kV}\)? Für die anderen Größen gelten die üblichen SI-Einheiten.
Lösung:
(C) ist richtig. Wenn der elektrische Widerstand und der elektrische Strom in den Standardeinheiten \(\Omega\) und \({\rm A}\) gegeben sind, dann ergibt sich auf der linken Seite der Gleichung die Einheit \({\rm V}\). Wenn statt dessen das Kilovolt verwendet wird (sehr üblich in der Hochspannungstechnik!), dann muss das Produkt \(R \cdot I\) mit dem Faktor \(10^{-3}\) multipliziert werden.
Die SI-Einheit der Leistung \(P\) ist das Watt (Symbol \({\rm W}\)), die Einheit des elektrischen Widerstandes \(R\) das Ohm (Symbol \(\Omega\)), die Einheit der elektrischen Spannung das Volt (Symbol \({\rm V}\)). Die an einem elektrischen Heizwiderstand \(R\) umgesetzte elektrische Leistung \(P\) beträgt bei einer angelegten Spannung \(U\), ausgedrückt als Größengleichung:
\[P = \frac{U^2}{R}.\]
Wie lautet die entsprechende zugeschnittene Größengleichung, wenn die für die Spannung \(U\) gilt: \([U]\;=\;{\rm kV}\), und ansonsten die oben angegebenen Einheiten verwendet werden?
Lösung:
(C) ist richtig. Die Spannung ist in der Einheit \({\rm kV = 1000\;V}\) gegeben, und \(\left(1000\;{\rm V} \right)^2 = 10^6 \; {\rm V^2}.\) Also ist mit dem Faktor \(10^{6}\) zu multiplizieren.
Rechenbeispiel: Wenn an einem Widerstand von \(1\;\Omega\) eine Spannung von 1000 V angelegt sind, ist die umgesetzte Leistung \(P = \frac{\rm 1000\;V \cdot 1000\;{\rm V}}{1\;\Omega} = 10^6\;{\rm W} \). Nutzen wir statt der Einheit \({\rm V}\) die Einheit \({\rm kV}\), so ist mit einem Faktor von \(10^6\) zu multiplizieren.
In einer zugeschnittenen Größengleichung wird die Größe jeweils durch die verwendete Einheit geteilt; daher muss \({\rm kV^2}\) im Nenner stehen und \(\Omega\) im Zähler.
Ganz formal geht man wie folgt vor:
Die Größengleichung lautet:
\[ P = \frac{U^2}{R}.\]
Die zugeschnittene Größengleichung in SI lautet:
\[ \frac{P}{\rm W} = \frac{U^2}{\rm V^2} \cdot \frac{\Omega}{R}. \]
Wenn wir jetzt auf die Einheit kV übergehen mit \(1\;{\rm kV} = 1000\;{\rm V}\), dann müssen wir die rechte Seite der Gleichung um \(\left(\frac{\rm 1000\;V}{\rm kV}\right)^2\) erweitern:
\[ \frac{P}{\rm W} = \frac{U^2}{\rm V^2} \cdot \frac{\Omega}{R} \cdot \left(\frac{\rm 1000\;V}{\rm kV}\right)^2. \]
Dann kürzt sich auf der rechten Seite das \(V^2\) im Zähler und im Nenner weg, und es bleibt:
\[ \frac{P}{\rm W} = 10^6 \frac{U^2}{\rm kV^2} \cdot \frac{\Omega}{R}. \]
… und das ist gerade Lösung (C).
Übrigens: wenn man die Leistung als Größe haben will, kann man das \({\rm W}\) von der linken auf die rechte Seite bringen:
\[ P = 10^6 \frac{U^2}{\rm kV^2} \cdot \frac{\Omega}{R}\;{\rm W}. \]
\(\frac{U^2}{\rm kV^2}\) ist ja einfach eine Zahl, und \(\frac{\Omega}{R}\) auch, also bleibt rechts einfach das Watt übrig.
Die in der optischen Spektroskopie übliche Einheit der Wellenlänge ist das nm: \([\lambda]={\rm nm.}\) Zur Analyse von Spektren wird die Wellenlänge in die Wellenzahl \(\tilde{\nu}\) umgerechnet: \(\tilde{\nu} = \frac{1}{\lambda}\). Die in der Spektroskopie übliche Einheit der Wellenzahl ist das reziproke cm. Welcher Wellenzahl in \(\rm{cm^{-1}}\) entspricht eine Wellenlänge von 589,0 nm (vier signifikante Stellen)?
Der aktuelle Wert der Gravitationskonstante beträgt: \[ G = \left(6,67430 \cdot 10^{-11} \pm 1,5 \cdot 10^{-15}\right)\;{\rm m^3 \,kg^{-1} s^{-2}}. \] Der aktuelle Wert der Rydbergkonstante beträgt: \[ R_{\infty} = \left(10973731,568160 \pm 2,1 \cdot 10^{-5}\right)\;{\rm m^{-1}}. \] Berechnen Sie das Verhältnis der relativen Fehler \(\frac{\delta R_{\infty}}{\delta G}\;\;\;\)!
Lösung: Zur Lösung der Aufgabe berechnen wir zunächst aus den angegebenen Größen die relativen Fehler:
\[
\delta R_{\infty} = \frac{\Delta R_{\infty}}{R_{\infty}} =\frac{2,1 \cdot 10^{-5}}{10973731,568160} = 1,9 \cdot 10^{-12}.
\]
Um den relativen Fehler auf zwei signifikaten Stellen genau auszurechnen, müssen Sie nicht die gesamte Ziffernfolge von \(R_{\infty}\) in Ihren Taschenrechner eingeben (bei den meisten Rechnern geht das ohnehin nicht). Es genügt vollkommen, zum Beispiel die Ziffernfolge vor dem Dezimalseparator einzugeben. Noch weniger Ziffern würden auch ausreichen. Zum Beispiel erhalten Sie dasselbe Ergebnis auch, wenn Sie für \(R\) die Ziffernfolge \(10970000\) eingeben, also lediglich vier signifikante Stellen nutzen.
Für \(\delta G\) gilt dementsprechend:
\[
\delta G = \frac{\Delta G}{G} =\frac{1,5 \cdot 10^{-15}}{6,67430 \cdot 10^{-11}} = 2,25 \cdot 10^{-5}.
\]
Das Verhältnis dieser relativen Fehler ist
\[
\frac{\delta R_{\infty}}{\delta G} = \frac{1,9 \cdot 10^{-12}}{2,1 \cdot 10^{-5}} = 8,5 \cdot 10^{–8}.
\]
Die relativen Fehler und ihr Verhältnis müssen nach den Regeln der Multiplikation von Zahlen mit signifikanten Stellen jeweils mit zwei signifikanten Stellen angegeben werden. Die Rydbergkonstante ist etwa 10 Millionen mal genauer als die Gravitationskonstante bekannt.
Mit einem Multimeter, das auf den 5-V-Messbereich eingestellt ist, wird die Spannung einer elektrochemischen Zelle zu \(U=1,16\;{\rm V}\) gemessen. Nach Herstellerangaben weist das Multimeter bei Spannungsmessungen eine relative Genauigkeit (= relativer Fehler \(\delta U\)) von 0,5% des Messbereiches auf. Wie groß ist die Messunsicherheit der gemessenen Spannung?
Lösung: Der Messbereich ist gleich 0—5 V; die relative Genauigkeit beträgt 0,5% von 5 V = 25 mV. Dies ist unabhängig vom abgelesenen Messwert allein vom Messbereich abhängig.
Wie viele signifikante Stellen weist die messtechnische Zahl \(0,0230\) auf?
Das gelbe Licht der Natriumlampen, die zur Ausleuchtung von Verkehrskreuzungen in großem Umfang genutzt werden, hat eine Wellenlänge von \(\lambda = 589\;{\rm nm}\). Wie wird diese Größe in normalisierter wissenschaftlicher Notation aufgeschrieben?
Lösung:Die Regeln für die Verwendung der normalisierten wissenschaftlichen Zahlennotation, die in der 2. VL angegeben worden sind, ist nur mit Antwort (D) vereinbar. Normalerweise würde man in einem Fachtext aber nicht diese Notation verwenden, sondern den Einheitenvorsatz "nm" heranziehen.
Es sei \(\{K\}=7.32 \cdot 10^{-4}\). Wie groß ist \(\log_{10}\, \{K\}\)?